Topolino Sticker Story: Analisi Probabilistica

Posted by Everett D. on Nov 24, 2018 in Analisi, Hot News |

Per celebrare il novantesimo compleanno di Topolino – come molti di voi sapranno già – Panini ha fatto uscire un particolare album di figurine e carte collezionabili. L’album conta 64 pagine ed include una storia inedita di Casty che dev’essere “terminata” proprio attaccando alcune figurine sulle vignette vuote.

Complessivamente, la raccolta include 276 figurine e 36 carte ed è possibile acquistare le bustine in edicola al costo di 1€ che includono 5 figurine e 1 carta.

Da grande appassionato quale sono, mi sono subito recato in edicola ed ho prontamente acquistato un intero box (50 bustine) di figurine ma contestualmente mi è sorta una domanda: “Quante bustine sarebbe necessario comprare per essere ragionevolmente certi di terminare l’album senza effettuare scambi?“

La questione è tuttavia più complessa di quanto non sembri. Anzitutto è necessario definire un modello: indichiamo con

$\displaystyle X=T_1 + T_2 + ... + T_{276}$

la variabile aleatoria che indica il numero di figurine che devo comprare al fine di terminare la collezione e, per semplicità, immaginiamo di concentrarci unicamente sulle 276 figurine tradizionali (che sono acquistabili in pacchetti da 5) e tralasciare le carte.

Ogni $T_i$ rappresenta il numero necessario di nuove figurine da acquistare al tempo $i$ -esimo per trovarne una nuova. Supponendo che tutte le figurine siano uniformemente distribuite nelle bustine, ogni variabile aleatoria $T_i$ seguirà distribuzione geometrica di parametro $p_i$ , dove

$\displaystyle p_i=\frac{276-(i-1)}{276}$ .

Poiché il valore atteso di una variabile aleatoria geometrica è il reciproco del suo parametro $p_i$ , il valore atteso di figurine (ossia il numero medio di figurine) che dovremo acquistare per completare i 276 slot dell’album è:

$\displaystyle \mathbb{E}[X_i]=\sum_{i=1}^{276}\mathbb{E}[T_i]=\sum_{i=1}^{276} \frac{1}{p_i} = {276} \left( \frac{1}{276} + \frac{1}{276-1} + ... + 1 \right)=1711,042$

Dividendo per 5 si ottiene 342, che è il numero medio di bustine che bisogna aspettarsi di acquistare per riuscire a completare l’album senza effettuare alcuno scambio .

Acquistando 342 bustine, tuttavia, non siamo certi di concludere la collezione, in quanto si tratta di un semplice valore medio.

Cerchiamo dunque di determinare la probabilità di terminare la collezione associata ad ogni diverso numero di bustine acquistato $x$ . Per fare ciò è necessario contare il numero delle possibili funzioni suriettive tra l’insieme delle $x$ carte trovate nelle bustine e l’insieme dei 276 slot presenti sull’album (casi favorevoli) e rapportarli a tutti i casi possibili. Si ottiene perciò la seguente funzione di ripartizione:

$\displaystyle \mathbb{P}(X \leq x)=\frac{\sum_{i=0}^{276-1}(-1)^i \binom{276}{i}(276-1)^x}{276^x}$

Attraverso una banale implementazione in un ambiente di calcolo simbolico (nello specifico R 3.5.1) è stato possibile determinare i valori della funzione di ripartizione al variare di $x \in \mathbb{N}[1,600]$ e rappresentarli su un grafico. Per praticità, il numero di figurine acquistate $x$ è stato diviso per 5 in modo da poter rappresentare sugli assi x e y il numero di bustine acquistate e la probabilità di concludere la raccolta, rispettivamente.

In conclusione, per essere ragionevolmente certi ( $\sim$ 95% di confidenza) di terminare l’album senza effettuare scambi, sarebbe perciò necessario acquistare ben 474 bustine.